Das PIN-Problem – Die Aufgabe der Woche

04.09.2018 — Online-Redaktion Verlag Dashöfer. Quelle: Verlag Dashöfer GmbH.

Ihre PIN kennen Sie ja sicher auswendig. Und wenn sie Ihnen doch einmal entfällt? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, sie anhand einiger Anhaltspunkte zu ermitteln?

Herr Müller befindet sich im Supermarkt und stellt fest, dass er nur noch wenig Bargeld bei sich hat, das für seine geplanten Einkäufe nicht ausreicht. Seinen Einkauf könnte er ja problemlos mit Karte zahlen, wenn da nicht seine Vergesslichkeit wäre – er erinnert sich einfach nicht an seine PIN.

Nach angestrengtem Nachdenken kommt er zu folgenden Erkenntnissen.

Seine 4-stellige PIN beginnt mit der Ziffer 2.
Die PIN setzt sich aus den Ziffern 2, 8 und 3 zusammen. Eine Zahl kommt also zweifach vor.
Die 8 ist nicht die zweifach vertretene Ziffer.
Die 2 steht nicht an dritter Stelle der PIN.

Herr Müller, schon immer ein Zocker, stellt folgende Überlegung an: Er hat an der Kasse drei Versuche, um die richtige PIN einzutippen. Sollte die Wahrscheinlichkeit, mit diesen drei Versuchen die richtige PIN zu treffen, höher liegen als 50 %, so will er es wagen, seine Einkäufe wie geplant in den Wagen und schließlich auf das Kassenband zu legen und sie schlechtestenfalls nicht zahlen zu können. Andernfalls möchte Herr Müller sich auf die Einkäufe beschränken, für die er ausreichend Bargeld bei sich hat.

Doch wie viele mögliche richtige Zahlenkombinationen bleiben nach Herrn Müllers Einschränkungen noch übrig? Und wie steht dementsprechend seine Chance, in drei Versuchen die richtige PIN einzugeben, wenn wir davon ausgehen, dass Herr Müller nicht mehrfach die gleiche Kombination probiert?

Lösung anzeigen

Lösung:

Unter Berücksichtigung der Überlegungen Herrn Müllers, dass 1. die 4-stellige PIN mit der Ziffer 2 beginnt, 2. die Ziffern 2, 8 und 3 mindestens einmal in der PIN vorkommen, eine also zwei mal vertreten ist, 3. die 8 nicht die zweifach vertretene Ziffer ist und 4. die 2 nicht an dritter Stelle steht, bleiben folgende sieben mögliche PINs übrig:

2283
2238
2382
2383
2338
2833
2832

Glückwunsch, wenn Sie diese korrekt ermittelt haben. Doch wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, die aus den sieben Möglichkeiten bei drei Versuchen die richtige zu erwischen?

Die Wahrscheinlichkeit, dass Herr Müller in 3 Versuchen die richtige dieser sieben möglichen Kombinationen erwischt, liegt bei 3/7, also bei rund 43 % – und damit niedriger als den von Herrn Müller angesetzten 50 % als Untergrenze für einen Risiko-Versuch. Doch der Weg zu diesen 3/7 ist gar nicht so naheliegend, wie man denken könnte.

Zur Erklärung: Die Chance, die richtige PIN im ersten Versuch zu erraten liegt bei 1/7. Kommt es zum zweiten Versuch, steht die Chance, sie zu erraten bei 1/6 * 6/7 = 1/7, denn es steht zwar eine falsche Zahlenkombination weniger zur Auswahl, die durch den ersten falschen Versuch eliminiert wird, daher 1/6, allerdings muss die Wahrscheinlichkeit um die 1/7-Chance reduziert werden, nach der die PIN schon im ersten Versuch korrekt eingetippt wird (daher 1/6 * 6/7). Dementsprechend ergibt sich für eine korrekte PIN-Eingabe im dritten Versuch der Rechenweg 6/7 * 5/6 * 1/5 = 1/7 – also die Wahrscheinlichkeit für eine falsche PIN im ersten Versuch mal die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Eingabe im zweiten Versuch mal die Wahrscheinlichkeit für eine erfolgreiche Eingabe im dritten Versuch bei dann nur noch fünf möglichen Zahlenkombinationen.

Die Wahrscheinlichkeiten der drei Versuche sind zu addieren, also 3 * 1/7 = 3/7 und damit 42,86 %.